Les jeux de Nim sont des jeux combinatoires à deux joueurs, impartiaux, dans lesquels le hasard n'intervient pas et pour lesquels il existe, en un temps fini, une stratégie gagnante. Leurs origines sont très anciennes, on les trouve en Chine sous le nom de fan-tan et en Afrique sous le nom de tiouk-tiouk. Certains de ces jeux sont très connus dans leurs versions simples. On peut évoquer le jeu de Marienbad (cf le film d'Alain Resnay 1961) ou le jeu des allumettes incontournable dans l'émission Fort Boyard. On les trouve aussi dans des versions utilisant des billes, des graines, des jetons. Les mathématiciens étudient ces jeux et les modélisent depuis le début du XXème siècle (Bouton 1901, Sprague 1935 et Grundy 1939).

Leur grand intérêt pour l'enseignement est l'existence de versions utilisant un matériel expérimental facile à mettre en place en classe, et dont la résolution est accessible dès le collège par des raisonnements logiques et des notions mathématiques élémentaires – par exemple, la division euclidienne pour « la course à n », l'algorithme d'Euclide et les pavages d'un rectangle en carrés pour « le jeu d'Euclide géométrique » (Colipan 2014).

Dans cet atelier, nous étudierons un jeu de Nim que le groupe Logique et SiRC » de l'IREM de Grenoble et l'Équipe Fédérative « maths-à-modeler » a expérimenté au collège, au lycée et à l'université. Nous chercherons la stratégie gagnante et les positions gagnantes/ perdantes dans des cas particuliers, dans les deux versions « normale » et « misère », pour terminer sur une modélisation permettant de résoudre le cas général.